3.2. Канонические уравнения метода сил

    Раскрытие статической неопределимости в неразрезных балках методом сравнения деформаций, как показано в подразд. 3.1, практически целесообразно только в системах с одной лишней связью, при простых загружениях. Для балок с большим числом неизвестных, а также для расчета статически неопределимых рам при формировании разрешающих уравнений используется, по физической сути, тот же метод сравнения деформаций, однако перемещения в статически определимой основной системе определяются по формуле Мора с использованием приемов изложенных в разд. 2.

    Рассмотрим конкретный пример формирования разрешающих уравнений для раскрытия статической неопределимости трехпролетной балки, изображенной на рис. 3.7, а. Вариант основной статически определимой системы получен исключением опорных связей на опорах 1, 2 и заменой реактивных усилий в этих связях неизвестными силами X₁ и X₂ (рис. 3.7, б). Условия эквивалентности изгиба заданной статически неопределимой системы и основной статически определимой балки будут соблюдаться тогда, когда от совместного действия заданной внешней нагрузки и неизвестных сил X₁, X₂ прогибы основной системы в точках 1 и 2 будут равны нулю (рис. 3.7, б).

Рис. 3.7. Пример трехпролетной балки: а – статически неопределимая балка; б – статически определимая основная система, эквивалентная заданной

    Запишем эти условия, используя принцип сложения действия сил и принятую форму обозначения перемещений с двумя индексами, первый из которых показывает направление перемещения, второй – причину. Рассмотрим деформацию основной системы раздельно от внешних нагрузок (грузовое состояние – “0”) и от загружения основной системы неизвестными значениями силы X₁ (состояние “1”) и силы X₂ (состояние “2”) (рис. 3.8).

    В заданной расчетной схеме балки в опорных точках 1, 2 прогибы равны нулю.

    В принятых обозначениях это условие запишется так:

                                                                                            (3.5)

   Физический смысл каждого слагаемого в уравнениях (3.5) ясен из рис. 3.8.

                             (3.6)

    Здесь d ₁₁ – перемещение по направлению X₁ от силы X₁ = 1; d ₁₂ – перемещение по направлению X₁ от силы X₂ = 1; d ₂₁ – перемещение по направлению X₂ от силы X₁ = 1; d ₂₂ – перемещение по направлению X₂ от силы X₂ = 1.

    Уравнения (3.5) после подстановки выражений (3.6) примут вид

                                                                                            (3.7)

    Это канонические уравнения метода сил. Канонические уравнения метода сил имеют кинематический смысл, так как в каждом из них суммируются перемещения.

    Канонические уравнения метода сил отрицают перемещения в основной системе по направлению лишних неизвестных от совместного действия внешней нагрузки и неизвестных сил в отброшенных связях. Этим и отождествляется работа заданной статически неопределимой расчетной схемы балки и ее статически определимой основной системы.

    Этот метод раскрытия статической неопределимости называется методом сил, потому что искомые неизвестные есть усилия в отброшенных связях. Искомыми усилиями могут быть и моменты, и перерезывающие силы, и продольные силы в исключаемых связях. Это определяется типом отброшенных связей в основной системе.

    Коэффициенты в системе канонических уравнений определяются по формуле Мора (2.11) с использованием описанных в разд. 2 приемов “перемножения эпюр” по правилу Верещагина. При этом следует иметь в виду, что всегда сохраняется равенство .

    После раскрытия статической неопределимости последующие операции в расчете балки с определением изгибающих моментов во всех сечениях, перерезывающих сил, прогибов выполняются как в статически определимой системе, нагруженной внешними силами и найденными в результате решения системы канонических уравнений значениями лишних неизвестных. При этом используются значения найденных усилий в сечениях основной системы от единичных значений лишних неизвестных и внешней нагрузки. Это будет показано ниже. Однако предварительно обсудим подробнее одну из важных операций во всем алгоритме расчета неразрезных балок – это выбор рациональной основной статически определимой системы из различных возможных для заданной статически неопределимой расчетной схемы.

    На рис. 3.10 и 3.11 показаны два варианта основной системы для шестипролетной неразрезной балки с пятью лишними связями. В первом варианте (рис. 3.10) балка преобразована в однопролетную. Все лишние опорные связи заменены неизвестными силами.

    Как видно из рис. 3.10, коэффициенты перед неизвестными d _ij есть прогибы над опорными точками от нагружения основной системы силами X_i =1 (i = 1, 2, 3, 4, 5). Система из пяти канонических уравнений (3.8) будет полной.

    Коэффициенты канонических уравнений в этом варианте есть взаимные углы поворота двух смежных сечений над опорными точками, т.е. углы раскрытия шва j _n над опорными сечениями в расчлененной балке (рис. 3.11, 3.12), какой является основная статически определимая система. По рис. 3.11 видно, что в этом варианте основной системы угол раскрытия шва над первой опорой зависит от неизвестных X₁ и X₂, на пятой опоре – от X₄, X₅, на второй опоре – от X₁, X₂ и X₃, на любой n-й опоре от неизвестных опорных моментов X_n-1, X_n, X_n+1. Угол раскрытия шва от внешней нагрузки над любой n-й опорой D _n0 определяется заданной внешней нагрузкой на пролетах, примыкающих к n-й опоре.

    Система канонических уравнений в этом варианте состоит из трехчленных уравнений (3.9) (первое и пятое – двухчленны), решение которых значительно проще решения системы полных пяти уравнений с пятью неизвестными (3.8) по первому варианту.

Трехчленное каноническое уравнение, из входящих в систему (3.9), для раскрытия статической неопределимости неразрезной балки является рекуррентным и называется уравнением трех моментов.     Получим его в общем виде для фрагмента неразрезной балки с пролетами ln, ln+1, примыкающими к n-й опоре (рис. 3.13, а).

 

Эпюра изгибающих моментов в основной системе (рис. 3.13, б) от заданных нагрузок M₀ приведена на рис. 3.13, в; эпюры , , от единичных значений лишних неизвестных X_n-1=1, X_n =1, X_n+1=1 – на рис. 3.13, г,д,е.

Рис. 3.13. К составлению канонического уравнения: а – фрагмент неразрезной балки; б – основная система; в – эпюра моментов от внешней нагрузки; г, д, е – эпюры моментов от единичных неизвестных

    Каноническое уравнение для n-й опоры имеет вид:

                            .                                  (3.10)

    Определим коэффициенты d _n,n-1, d _n,n, d _n,n+1, D _n0, используя интеграл Мора и правило Верещагина для перемножения эпюр изгибающих моментов.

    Единичные коэффициенты уравнения (3.10):

                            ,          (3.11)

                                        (3.13)

    Грузовой коэффициент D _n0 – свободный член уравнения (3.10):

                     .                          (3.14)

    Если сечения балки во всех пролетах одинаковы (J₀=J_n= =J_n+1=const), то , и уравнение трех моментов принимает вид:

                     .                       (3.16)

    Если неразрезная балка оканчивается шарнирными опорами (рис. 3.14), то первое и последнее уравнения в системе (3.9) будут двухчленными, так как M₀ = 0, M₅ = 0.

Рис. 3.14. Схема формирования четырех уравнений трех моментов для балки с шарнирными крайними опорами

    При наличии загруженных консолей в неразрезной балке изгибающий момент в опорных сечениях от нагрузки может быть вычислен и включается в уравнение (3.15), (3.16) в левую или правую часть.

    Если неразрезная балка на крайних опорах имеет жестко защемленную опору, то в основной статически определимой системе жестко защемленная опора заменяется дополнительным пролетом с бесконечной изгибной жесткостью EJ = или (рис. 3.15).

3.3. Построение эпюр изгибающих моментов, перерезывающих сил. Определение опорных реакций

.                      (3.17)

                                     .              (3.18)

Рис.3.16. Построение расчетной эпюры изгибающих моментов

    Перерезывающие силы в сечениях неразрезной балки могут быть определены сложением перерезывающих сил от внешней нагрузки в основной системе Q₀(z) с перерезывающими силами от действия опорных моментов (рис. 3.17). Продифференцировав (3.14) по переменной z, получим для пролета l_n:

                                      .                             (3.19)

Рис. 3.17. Построение расчетной эпюры перерезывающих сил

.           (3.20)

    Из эпюры Q (рис. 3.17) реакция R_n на опоре может быть определена как разность ординат и (разрыв на эпюре Q над опорным сечением).

3.4. Контроль расчета

    Для контроля правильности полученной эпюры М_расч необходимо выполнить для нее деформационную проверку. Смысл ее в следующем. Назначается вспомогательное состояние от единичного лишнего неизвестного в статически определимой основной системе, отличной от той, которая использовалась при расчете, строится эпюра, например, . Вычисляется интеграл Мора

.

    Результат должен получиться равным нулю. В этом нетрудно убедиться, если раскрыть подынтегральное выражение (3.17) для М_расч:

    Получаем каноническое уравнение, смысл которого заключается в том, что оно отрицает перемещение в заданной схеме по направлению исключенной связи.

    Проверок надо сделать столько, сколько раз балка статически неопределима. Все эти контрольные операции можно объединить в одну, используя в подынтегральном выражении вместо суммарную единичную эпюру

.

    Должны также выполняться и статические уравнения равновесия как всей балки, так и любой ее отсеченной части, нагруженной внешней нагрузкой и усилиями в сечениях, взятых из эпюр М_расч, Q_расч по местам разреза.

3.5. Определение прогибов и углов поворота сечений в пролете неразрезной балки

Для определения прогиба или угла поворота любого сечения неразрезной балки между опорами воспользуемся формулой Мора (2.13).

Так прогиб в точке k ,          (3.22) угол поворота .           (3.23)       Здесь – изгибающие моменты в двухопорной балке пролетом ln от единичной силы Fk, приложенной в точке k; – изгибающие моменты в сечениях балки от mk = 1, приложенного в точке k.       Количество участков, на которые необходимо разделить пролет балки при вычислении интегралов (3.22) и (3.23), зависит от вида эпюры Мрасч и положения точки k. В приведенном примере на рис. 3.18 пролет необходимо делить на два участка и пользоваться формулой (2.18) на каждом участке балки длиной 0,5 ln.

Пример 3.3.

Пример 3.4.

Пример 3.5.

Решение. 1. Выявление степени статической неопределимости. Заданная схема имеет одну избыточную связь сверх необходимого минимума для обеспечения геометрической неизменяемости схемы. Каноническое уравнение для один раз статически неопределимой балки имеет вид: .              (3.24) 2. Определение коэффициентов , выполняем по формулам (3.11) и (3.14) (используем вариант основной системы по рис. 3.19, в): 3. Из канонического уравнения (3.24) определим значение лишнего неизвестного: . (3.25)

    4. Ординаты эпюры М_расч, Q_расч получаем, рассматривая совместное действие на основную систему внешнего загружения и найденного значения лишнего неизвестного X (рис. 3.20),

                                    .                                                              (3.26)

Рис. 3.20. Построение расчетных эпюр: а – изгибающих моментов; б – поперечных сил

   

    5. Деформационную проверку эпюры М_расч выполним, проверяя равенство нулю прогиба в точке k₁ (рис. 3.21):

 

6. Подбор сечения балки из условия прочности. Определим требуемый номер прокатного двутавра

                                         .                                                    (3.27)

Сечение балки во втором пролете с max M определим из условия (см. рис. 3.20): ; .

    Величина максимального момента при :

.

7. Определение прогиба в середине загруженного пролета балки. В статически определимой основной системе в точке k по направлению определяемого прогиба

прикладываем силу Fk=1 и строим эпюру (рис. 3.23). Прогиб в точке k получим, используя формулу (2.20): .

Для перемножения эпюр M_расч и вычислим ординаты на эпюре M_расч при через правые силы (см. рис. 3.22).

В сечении 3 () . В сечении 1 ()

    Перемножение выполняем по участкам I и II (рис. 3.24) и результаты суммируем

.

   Пример 3.4. Раскрыть статическую неопределимость неразрезной балки (рис. 3.25),

построить эпюру изгибающих моментов, перерезывающих сил, определить реактивные усилия в опорах, подобрать сечение балки из прокатного двутавра, при [s ]=160 МПа, определить прогиб балки в середине второго пролета. Изгибная жесткость во всех пролетах балки одинакова.

    Решение.

    Степень статической неопределимости балки равна двум, так как имеет две избыточные связи (по одной в опоре 1 и 2) при обеспечивающем геометрическую неизменяемость необходимом минимуме равном трем связям в жестко защемленной опоре.

    Для раскрытия статической неопределимости воспользуемся уравнениями трех моментов (3.16). Преобразуем балку в статически определимую с шарнирными опорами. За лишние неизвестные принимаем моменты над опорными сечениями.

От нагрузки на правой консоли изгибающий момент на крайней правой опоре . Жесткую заделку заменим пролетом l0=0 (рис. 3.26). Эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки в основной системе (балочные эпюры M) приведены на рис. 3.27. Момент M2 на крайней правой опоре будем учитывать в левой части уравнений трех моментов как известную величину, равную M2=-5 кНм. Площади эпюр M0 и положение центров тяжести площадей w 1, w 2, w 3 показаны на рис. 3.27. Запишем уравнения трех моментов (3.16) для пролетов l0, l1 (опорные точки -1, 0, 1) и пролетов l1, l2 (опорные точки 0, 1, 2):

                                    (3.29)

    После преобразований имеем:

                                                                                         (3.30)

    Корни уравнений (3.30) = 17,97 кНм, = -30,91 кНм.

Эпюру изгибающих моментов в заданной балке получим сложением эпюры опорных моментов и балочных эпюр M0 от внешней нагрузки в пролетах (рис. 3.28).    Контроль эпюры Mрасч. Деформационную проверку выполним, определяя сумму прогибов на опорах 1, 2 заданной балки

                                                                      (3.31)

Здесь , – единичные эпюры в основной статически определимой системе от F1=1 (для определения прогиба в точке 1) и F2=1 (для определения прогиба в точке 2) (рис. 3.29).

    Интеграл (3.31) представим в виде

                                         ,                                       (3.32)

где – суммарная единичная эпюра сил F₁=1 и F₂=1 (рис. 3.29).

    Для перемножения эпюр M_расч и , учитывая их вид, принимаем 3 участка длиной соответственно 3, 3, 8 м и используем для вычисления интеграла на первом и втором участках формулу (2.17), на третьем участке – (2.20)

    Невязка составляет , что допустимо.

    Построение эпюры перерезывающих сил. Перерезывающую силу в сечениях неразрезной балки вычислим по формуле (3.19):

.

Эпюры от внешней нагрузки в однопролетных балках в первом и втором пролетах показаны на рис. 3.30. Построение их особых пояснений не требует. С учетом опорных моментов перерезывающие силы в сечениях около опор получим:

;

;

;

.

    В сечениях на правой консоли .

По полученным значениям построена эпюра Qy (рис. 3.31).    Опорные реакции R0, R1, R2 получим как разность перерезывающих сил в сечениях, расположенных бесконечно близко слева и справа от рассматриваемой опоры .

   

кН;

;

.

На рис. 3.32 показаны все активные и реактивные силы, действующие на балку. Проверим условие равновесия балки ():

               .

    Подбор сечения балки из прокатного двутавра по условию прочности.Требуемый момент сопротивления сечения балки из условия прочности определяется по формуле (3.27).

    Для определения значения максимального изгибающего момента во втором пролете найдем положение сечения с экстремальным значением функции M(z) из условия

                                  .                                                         (3.33)

На рассматриваемом участке (рис. 3.33) перерезывающая сила в сечении 1–1 и условие (3.33) запишется так: , из которого получим м.

Изгибающий момент в сечении 1–1

                              ,                            (3.34)

при z=3,46 м кНм.

    Требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки при [s ] = 160 МПа

                                        .

    Определение прогиба балки в середине второго пролета выполним по формуле Мора (2.13), используя для вычисления интеграла выражение (2.20). По виду эпюр , (рис. 3.34) пролет необходимо разделить на два участка длиной по 4 м.

    Определим ординаты эпюры при z = 2 м, 6 м, используя выражение (3.34):

при z = 2 м ;

при z = 6 м .

Вычисленное значение прогиба составляет от пролета l=8 м и может быть сравнено с допускаемым по условию жесткости .                              (3.35)

    Допускаемая величина максимального прогиба определяется нормами проектирования в зависимости от назначения сооружения.

    При построении упругой линии балки (изогнутой оси) используем граничные условия на опорах (y₀=0, j ₀=0, y₁=0, y₂=0), вычисленный прогиб в сечении k и вид эпюры M_расч(z).

Кривизна изогнутой оси балки . (3.36) На участках с положительным изгибающим моментом ось бруса изгибается выпуклостью вниз, с отрицательным изгибающим моментом – выпуклостью вверх (рис. 3.35, а, б). В сечениях с Mизг = 0 в упругой линии балки – точки перегиба, так как , r = . Схема упругой линии балки показана на рис. 3.35, д.