КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8

Теория вероятностей. Случайные величины

 

Методические указания и задания

 

 

Раздел 1. Дискретные случайные величины

 

Пусть производится некоторое испытание, результатом которого является одно из несовместных случайных событий  (число событий или конечно или счетно, то есть события можно пронумеровать). Каждому исходу  поставлено в соответствие некоторое действительное число , то есть на множестве случайных событий задана действительная функция Х со значениями . Эта функция Х называется дискретной случайной величиной (термин «дискретная» используется потому, что значения случайной величины – это отдельные числа, в отличие от непрерывных функций). Поскольку значения случайной величины изменяются в зависимости от случайных событий, то основной интерес представляют вероятности, с которыми случайная величина принимает различные числовые значения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы. Для дискретной случайной величины законом распределения является совокупность пар чисел (), где  – возможные значения случайной величины, а  – вероятности, с которыми она принимает эти значения: . При этом .

Пары  можно рассматривать, как точки в некоторой системе координат. Соединив эти точки отрезками прямых, мы получим графическое изображение закона распределения – многоугольник распределения. Чаще всего закон распределения дискретной случайной величины записывается в виде таблицы, в которую внесены пары .

 

X

p

 

Пример. Монета подброшена два раза. Составить закон распределения числа выпадения «гербов» в данном испытании.

Решение. Случайная величина Х – число выпадений «герба» в данном испытании. Очевидно, что Х может принимать одно из трех значений: 0, 1, 2. Вероятность появления «герба» при одном подбрасывании монеты равна р = 0,5, а выпадения «решки» q = 1 – p = 0,5. Вероятности, с которыми случайная величина принимает перечисленные значения, найдем по формуле Бернулли:

.

.

.

Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы распределения

 

Х

0

1

2

Р

0,25

0,5

0,25

 

Контроль: .

Некоторые законы распределения дискретных случайных величин, часто встречающиеся при решении различных задач, получили специальные названия: геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, распределение Пуассона и другие.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения , которая равна вероятности того, что случайная величина Х будет принимать значения на промежутке : .

Функция  определена на всей действительной оси и обладает следующими свойствами:

1)      ;

2)       – неубывающая функция;

3)      , ;

4)       – вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке .

График функции  для дискретной случайной величины состоит из отрезков прямых и лучей, параллельных оси ОХ или совпадающих с ней.

Пример. Случайная величина Х задана таблицей распределения:

 

Х

- 1

2

3

5

Р

0,1

0,3

0,4

0,2

 

Составить функцию распределения  случайной величины Х и построить ее график.

 

Решение. Если х£-1, то F(x)=P(X<x)=0;

если –1<x£2, то F(x)=P(X<x)=P(X=-1)=0;

если 2<х£3, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4;

если 3<x£5, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)=0,1+0,3+0,4=0,8;

если х>5, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)+ Р(Х=5)=1.

 

 

Построим график (рис. 1).

 

 

Рис. 1. График функции распределения

 

Числовые характеристики дискретных случайных величин

 

Пусть случайная величина Х задана таблицей распределения

 

X

p

 

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений  на соответствующие вероятности :

.


Математическое ожидание называют также средним значением случайной величины Х, подчеркивая статистический смысл понятия, или центром распределения случайной величины Х (по аналогии с понятием центра тяжести для системы материальных точек).

Свойства математического ожидания:

1)      если случайная величина Х принимает постоянное значение
Х = С = const, то М(С) = С;

2)      М(СХ) = СМ(Х), С = const;

3)      Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y) = M(X)+M(Y);

4)      Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X×Y) = M(X)×M(Y).

Наряду с характеристиками положения большую роль играют характеристики рассеяния. Рассеяние случайной величины Х связано с отклонением этой величины от ее центра распределения М(Х). Чтобы учитывать отклонения противоположных знаков, удобно рассматривать квадраты отклонений.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:

.

Используя свойства математического ожидания, можно записать более удобную формулу для подсчета дисперсии

.

Для того, чтобы рассматривать отклонение в тех же единицах, что и значения случайной величины, вводится еще одна характеристика – среднее квадратическое отклонение s(Х), которое определяется как

.

Свойства дисперсии:

1)      D(X) ³ 0;

2)      если С = const, то D(С) = 0;

3)      , С = const;

4)      D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

 

Х

2

3

5

6

Р

0,5

0,2

0,2

0,1

 

Найти М(Х), D(X), s(X).

Решение. Найдем математическое ожидание: М(Х) = 2×0,5+3×0,2+5×0,2+6×0,1 = 3,2.

Дисперсию вычислим по формуле .

;

;

.

  

Теоретические вопросы к разделу 1

 

1.    Закон распределения дискретной случайной величины.

2.    Функция распределения дискретной случайной величины.

3.    Математическое ожидание дискретной случайной величины.

4.    Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

 

Задание к разделу 1

 

Дискретная случайная величина может принимать только два значения:  и , причем . Известны вероятность  возможного значения , математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

0,9

0,8

0,6

0,4

0,2

М(Х)

3,9

3,7

3,5

3,3

3,1

2,2

3,2

3,4

3,6

3,8

D(X)

0,09

0,21

0,25

0,21

0,09

0,36

0,16

0,24

0,24

0,16