КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

Общий вид линии второго порядка:

 .                                                (1)

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

 

1.  Окружность 

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

                                                         (2)

где - радиус окружности,  и  - координаты центра окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид

                                                                  (3)

Рис. 2

2.    Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках  и :

                                                                           (4)

где  и  - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты  эллипса связаны соотношением

Рис. 3

 

Если центр эллипса находится в точке , то уравнение эллипса имеет вид:

                                                                 (5)

 

3.    Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках  и  имеет вид:

                                                                            (6)

где  - действительная полуось,

        - мнимая полуось.

 Коэффициенты  и  гиперболы связаны соотношением  .

       Прямые - асимптоты гиперболы.

Рис. 4

 

Если центр гиперболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

                                                             (7)

4.    Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

                                                        ,                                                                                    (8)

где  - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты .

Рис. 5

 

Если вершина параболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

                                                                                                                   (9)

Задача 1.  Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящего от оси Оу и точки .

Решение:  Возьмем на искомой линии произвольную точку . Расстояние точки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками:

Расстояние точки М до оси Оу определится:

Так как по условию , то искомая кривая имеет уравнение:

       

Линия, определяемая полученным уравнением  является параболой.

Задача 2.  Составить уравнение геометрического места точек, отношение  расстояний которых до точки F(-1; 0) и до прямой х = -9 равно 1/3.

Решение:  Возьмём на искомой кривой произвольную точку .
Её расстояния от точки  и прямой составляют    

Из условия задачи следует:

Таким образом, искомая кривая имеет уравнение:

Приведём это уравнение к каноническому виду:

 - это уравнение эллипса с полуосями:

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

1.      Определители

Определитель второго порядка, соответствующий таблице элементов   определяется разностью  и обозначается:

Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов

 определяется равенством:

 

Минором любого элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если  в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие этот элемент.

 

Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на  где - сумма номеров строки и столбца этого элемента.

Определитель третьего порядка можно вычислить диагональным способом. Для этого к определителю последовательно приписываются справа первый и второй столбцы. Произведения элементов, стоящих на главной диагонали, а также на двух параллелях к ней, берутся со знаком плюс; произведения элементов побочной диагонали и на двух параллелях к ней  берутся со знаком минус. Алгебраическая сумма этих шести произведений дает определитель третьего порядка

 

 

 

 

Примеры. Вычислить определители:

а) 

б) 

     

в) 

 

2.  Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Решение данной системы находится по формулам:

 

где .

 

При этом предполагается, что

 

Пример.  Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

Решение:  Вычислим определитель системы

 следовательно, данная система имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители:

По формулам Крамера находим:

 

Следовательно,  решение данной системы.

Далее