Пример. Решить уравнение .

Решение. Допустимые значения переменной должны удовлетворять системе неравенств , из которой следует, что . В левой части уравнения оставим один из радикалов, а другой корень перенесем в правую часть уравнения: . Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:  или . Перенесем корень в левую часть уравнения, а все остальные слагаемые – в правую часть уравнения: , . Снова возведем обе части уравнения в квадрат: , , , . Корни полученного уравнения , , . Проверим оба корня. Если , то . Следовательно, первый корень  не удовлетворяет уравнению. Если , то . Второй корень удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Допустимые значения переменной должны удовлетворять неравенству , то есть . Левая часть уравнения содержит два сомножителя, произведение которых равно нулю. Это возможно в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Пусть , тогда , . Если , то , откуда . Значение  не принадлежит области допустимых значений переменной, поэтому является посторонним корнем. Значения  и  удовлетворяют области допустимых значений, и проверка показывает, что они являются корнями исходного уравнения.

Ответ:  или .

В данном разделе были рассмотрены простейшие типы иррациональных уравнений. Решение более сложных уравнений и различные приемы, которые применяются при их решении, можно разобрать, изучая учебную литературу (в частности, те пособия, которые указаны в библиографическом списке). Но поскольку основным методом решение иррациональных уравнений является сведение к рациональным уравнениям путем возведения в степень, авторы считают возможным ограничиться представленными примерами и предложить задачи для самостоятельного решения.

7.2. Задания для самостоятельного решения.

Найдите решения следующих уравнений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

8. ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

8.1. Теоретические сведения и примеры

Величины, которые в течение некоторого явления или процесса остаются без изменения, сохраняют одно и то же значение, называются постоянными величинами; величины, которые принимают различные значения, называются переменными величинами.

Величины, изменяющиеся в течение некоторого явления, часто находятся в определенной зависимости друг от друга, так что изменение одних из них влечет за собой определенное изменение других.

Определение 1. Если две переменные  и находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению переменной  соответствует вполне определенное значение переменной , то эту зависимость называют функциональной зависимостью. Переменную  называют независимой переменной или аргументом, а переменную  – зависимой переменной или функцией от независимой переменной.

Определение 2. Множество тех значений независимой переменной, для которых определяется функция, называется областью определения функции и обозначается .

Определение 3. Если каждому  ставится в соответствие по некоторому закону только одно значение , то переменная  называется функцией переменной . Обозначается .

Все те значения, которые принимает зависимая переменная , образуют множество значений функции (обозначение ).

Если область определения функции и область значений функции – действительные числа, то функцию называют числовой.

Функция может быть задана различными способами: аналитическим (формулой), табличным, описательным, графическим.

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл (принимает действительные значения).

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Функция представляет собой дробь, поэтому определена только в том случае, если знаменатель дроби отличен от нуля: , . Следовательно, область определения функции – все действительные значения переменной , за исключением значения .

Ответ: .

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Функция содержит корень четной степени, который определен только в случае неотрицательного подкоренного выражения: , , . Следовательно, область определения функции – действительные числа, не превосходящие значения .

Ответ: .

Если требуется найти значение функции при определенном значении аргумента , то надо подставить вместо переменной ее числовое значение. Например, значение функции  при , равно .

Чтобы определить функцию графически, надо ввести понятие системы координат, то есть указать местоположение точек на плоскости.

Прямоугольная система координат

В разд. 1.1 было введено понятие числовой оси и указано, что каждой точке числовой оси соответствует ровно одно действительное число. Таким образом, было установлено взаимообратное соответствие действительных чисел и точек числовой оси.

Для определения положения точки на плоскости одной оси недостаточно. Требуются две пересекающиеся оси с общим началом отсчета и одинаковой единицей измерения. Удобнее всего положение точки определять относительно двух взаимно перпендикулярных осей, называемых координатными осями. Одна из осей называется осью абсцисс и обозначается ОХ, а другая – осью ординат и обозначается ОУ. Такая система координат ХОУ называется декартовыми прямоугольными координатами на плоскости. Обычно ось ОХ изображают горизонтально, а ось ОУ – вертикально (рис. 8.1). За единицу измерения на той и другой оси выбирается обычно один и тот же отрезок.

Точка О называется началом координат. Координатные оси делят всю плоскость на четыре угла, которые называются либо координатными углами, либо квадрантами, либо четвертями. Квадранты нумеруются в направлении против часовой стрелки, как указано на рис. 8.1.

Первому квадранту соответствуют значения ;

второму квадранту – значения ;

третьему квадранту – значения ;

четвертому квадранту – значения .

Положение произвольной точки М на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат определяют следующим образом. Из точки М опускают перпендикуляр на ось ОХ и фиксируют точку на оси, соответствующую основанию перпендикуляра – это координата . Теперь опустим перпендикуляр на ось ОУ и получим координату . Эти два значения  полностью определяют положение точки М на плоскости.

 

 

Рис. 8.1. Прямоугольные координаты

Таким образом, точка М определена своими проекциями на координатные оси. Указывая координаты точки, принято первой указывать координату , а второй – координату : . Пара, в которой определен порядок, называется упорядоченной. Пары (2;3) и (3;2) определяют разные точки плоскости. На рис.8.1 это точки М и N соответственно. Если точка лежит на оси абсцисс ОХ, то ее координата  (ордината) равна нулю. Если же точка лежит на оси ординат ОУ, то ее координата  (абсцисса) равна нулю. На рис.8.1 точки А и В имеют координаты А(0;4), В(-3;0). Начало координат точка О имеет нулевые координаты: О(0;0).

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует пара чисел – ее координаты. А каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости.

Далее