Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

  Пример 1.   1).Составить закон распределения числа попаданий в цель при трех выстрелах по мишени ,если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4.

  Решение. Дискретная случайная величина Х- число попаданий в цель при трех выстрелах может принимать четыре значения: 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что она примет каждое из них , найдем по формуле Бернулли при n =3, p =0,4, q =1-p =0,6  и m=0, 1, 2, 3:

 

Получим вероятности возможных значений Х:  ,

 , .

Составим искомый закон распределения случайной величины Х:

            Х        0        1            2          3

            Р    0,216   0,432    0,288    0,064 .

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.       

Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х. Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0;0,216), (1;0,432), (2; 0,288), (3;0,064).  Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения. См. рисунок в п.2).  

     2). Найти интегральную функцию  F(x) для полученного распределения дискретной случайной величины Х  и начертить ее график.

   Решение. 1. Если х0,  то F(x)=0. Действительно, значений, меньших нуля, величина Х не принимает. Следовательно, при всех х0 , пользуясь определением F(x), получим F(x)=P(X<x)=0 (как вероятность невозможного события).

2. Если 0<x, то F(x)=0,216.

 Действительно, в этом случае F(x)=P(X<x)=P(-<X0)+P( 0<X<x)=0,216+0=0,216.

Если взять, например, х=0,2, то F(0,2)=P(X<0,2). Но вероятность события Х<0,2 равна 0,216, так как случайная величина Х лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно 0 с вероятностью 0,216.

3. Если 1<x, то F(x)=P(X<x)=P(-<X0)+P(0<X)+P(1<X<x)=0,216+0,432+0=0,648. Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.

4.Если 2<x, то рассуждая аналогично, получим   F(x)=0,216+0,432+0,288=0,936. Действительно, пусть,например, х=3. Тогда  F(3)=PX<3)  выражает вероятность события     X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е.ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функции F(x).

5. Если x>3, то  F(x)=0,216+0,432+0,288+0,064=1.  Действительно, событие  Xявляется достоверным и вероятность его равна единице, а X>3 – невозможным. Учитывая, что

F(x)=P(X<x)=P(X3) + P(3<X<x), получим указанный результат.

Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:

          

                               F(x)=

 

Подпись: Интегральная функция F(X)
Подпись: 0.936

3

 

2

 

1

 
Подпись: Многоугольник распределения

Подпись: 0.4Подпись: 0.2

P

 

X1

 

0

 
Подпись: 0.216

X1

 

0

 

3

 

2

 

1

 
Подпись: 0.648Подпись: 1Подпись: F(x) 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                      

      

   3). Найти математическое ожидание  M(x), дисперсию  D(x) и среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины X,  закон распределения которой получен в п.1).

    Решение.    Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:

    М(х)=0=1,2.

То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.

    Дисперсию можно вычислить, исходя из определения дисперсии  D(X)=M(X-M(X))  или воспользоваться формулой     D(X) = M(X ,которая ведет к цели быстрее.

   Напишем закон распределения случайной величины Х :

                                Х      0              1              4          9

                                 Р      0,216     0,432       0,288      0,064.

  Найдем математическое ожидание для Х:

     М(Х) = 04  = 2,16.

Вычислим искомую дисперсию :

     D(X) = M(X) – (M(X)) = 2,16 – (1,2) = 0,72.

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

     (X) =  = 0,848.

  Интервал   ( M-; M+) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05)  - интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х, в него попадают значения 1 и 2.       

 

  Пример 2.  Дана дифференциальная функция распределения  (функция плотности) непрерывной случайной величины Х:

 

                                f(x)=      

1). Определить постоянный параметр a.

2). Найти интегральную функцию  F(x).                      

3). Начерить графики функций f(x) и F(x).

4). Найти двумя способами вероятности  Р(0,5<X1,5) и  P(1,5<X<3,5).

5). Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение  случайной величины Х.

   Решение.

   1). Дифференциальная функция по свойству f(x) должна удовлетворять условию                                                                                                                

 Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f(x):

Подставляя этот результат в  левую часть равенства, получим, что а=1.  В условии для f(x) заменим параметр а на 1:

                                                                                 

2).Для нахождения  F(x)  воспользуемся формулой 

                                 .

Если  х, то , следовательно

Если  1 то                  

Если  x>2,   то

  

Итак, искомая интегральная функция  F(x) имеет вид

 

                                        

3). Построим графики функций  f(x) и  F(x):

 

Подпись: График  F(x)
Подпись: График  f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4). Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал  (а,b)   вычисляется по формуле   а)  , если известна функция  f(x)

и по формуле  bP(a < X <b) = F(b) – F(a),  если известна функция  F(x).

   Найдем   по двум формулам и сравним результаты. По условию  а=0,5; b=1,5;  функция  f(x) задана в п.1).  Следовательно, искомая вероятность по формуле а) равна:

              

Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функции  F(х) на этом интервале:

  ,  т.к.   F(0,5)=0.

 

Аналогично находим

a       

b)       т.к.  F(3,5)=1.

 

5).Для нахождения математического ожидания  М(Х)  воспользуемся формулой                        Функция  f(x) задана в п.1), она равна нулю вне интервала (1,2].

       

Дисперсия непрерывной случайной величины  D(Х)  определяется равенством

 , или равносильным равенством

.

Длянахождения  D(X)  воспользуемся последней формулой и учтем, что все возможные значения   f(x) принадлежат интервалу (1,2].

    

Среднее квадратическое отклонение = =0,276.

Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен

(М-  ,М+ ) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).