Степенные ряды. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

1. Основные понятия. Область сходимости.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 (1.1) где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа. Точку xназывают центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

  (1.2)

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что  Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что  

Доказательство. Пусть числовой ряд

  (1.3) 

сходится. Поэтому  Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что  для всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

  (1.4) 

предполагая, что  Так как  и при этом  то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

 

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при   Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2. Для степенного ряда (1.2) возможны только три случая:

1)    ряд сходится в единственной точке x=0;

2)    ряд сходится при всех значениях x;

3)    существует такое R>0, что ряд сходится при всех значениях x, для которых  и расходится при всех x, для которых  

Определение 1.2. Интервал (-R,R), где число R определено в теореме 1.2, называется интервалом сходимости ряда (1.2), а число R – радиусом сходимости этого ряда.

Понятие радиуса сходимости будет распространяться на все три случая в теореме (3.2): для этого в случае 1 условимся считать R=0, а в случае 2

На практике радиус сходимости степенного ряда чаще всего определяют с помощью признака сходимости Даламбера. Предположим, что все коэффициенты ряда (1.2) отличны от нуля и существует предел  Тогда радиус сходимости находится по формуле 

Действительно, в силу признака Даламбера ряд

 

сходится, если число

 

меньше 1, и расходится, если этот предел больше 1. Иначе говоря, ряд сходится для всех x таких, что  и расходится при  Это и означает, что число  является радиусом сходимости ряда (1.2).

Пример 1.1. Найти область сходимости ряда

 

  Решение. 

 Следовательно, радиус сходимости есть  Ряд сходится при

1<x<1 и расходится при В точках x=1 и x=-1 ряд также сходится.

Итак, область сходимости ряда – отрезок

2. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

Теорема 2.1.  Степенной ряд (1.2) сходится равномерно на любом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости.

Доказательство. Пусть степенной ряд имеет интервал сходимости (-R,R). Рассмотрим какой-нибудь отрезок целиком содержащимся в (-R,R). Очевидно, что всегда можно найти отрезок вида , содержащий  и целиком лежащий в (-R,R). Если , то  и, следовательно, члены ряда (3.2) не превосходят по модулю членов ряда

 

Но последний ряд сходится, так как r<R. Таким образом, согласно признаку Вейерштрасса, ряд (3.2) сходится равномерно на отрезке 

Теорема доказана.

Теорема 2.2. (непрерывность суммы ряда). На любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда (1.2), сумма ряда есть непрерывная функция.

Доказательство. Каждая частичная сумма степенного ряда, очевидно, является непрерывной функцией. По теореме 2.1 на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости ряда сходимость является равномерной. Сумма ряда, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, сама является непрерывной функцией. Теорема доказана.

Теорема 2.3. (Почленное интегрирование степенного ряда). Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

Доказательство следует из аналогичной теоремы для функциональных рядов (теорема 2.2 предыдущей лекции).

Теорема 2.4. (Почленное дифференцирование степенного ряда). Пусть степенной ряд

  (2.1)

 имеет радиус сходимости R. Тогда ряд

  (2.2) 

полученный в результате почленного дифференцирования ряда (2.1), также имеет радиус сходимости R. Производная суммы ряда (2.1) равна сумме ряда (4.2):  

Из теоремы 2.4 следует

Теорема 2.5. Степенной ряд в пределах его интервала сходимости можно дифференцировать почленно любое число раз. При этом радиусы сходимости всех рядов, полученных дифференцированием данного ряда, совпадают с радиусом сходимости этого ряда.

Наряду со степенными рядами вида

  (2.3)

 будем рассматривать ряды вида

  (2.4)

Ясно, что подстановкой  ряд (2.4) превращается в ряд (2.3). Поэтому ряд (2.4) сходится при ( R – радиус сходимости ряда (2.3)). Итак, интервал сходимости ряда (2.4) есть

Все свойства, которыми обладает ряд (2.3) в интервале (-R,R), переносятся на ряд (2.4) в интервале