можно
указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной
будут удовлетворять неравенству ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина
В этом параграфе мы будем рассматривать упорядоченные переменные величины, изменяющиеся специальным образом, который определяется терминами «переменная величина стремится к пределу». Во всем дальнейшем курсе понятие предела переменной будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа -производная, интеграл и др.
Определение
1. Постоянное число а называется пределом переменной величины
х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного
числа можно
указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной
будут удовлетворять неравенству
Если
число 
есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится
к пределу ,
и пишут:
или 
.
В терминах геометрических определение предела может быть сформулировано следующим образом:
Постоянное
число
есть предел переменной, если для любой наперед заданной как угодно малой
окрестности с центром в точке и радиусом 
найдется такое значение х,
что все точки, соответствующие последующим значениям переменной, будут находиться
в этой окрестности.
Замечание 1. Постоянную величину с часто рассматривают как величину переменную, все значения которой одинаковы: х = с.
Очевидно, что предел постоянной будет
равен самой постоянной, т.к. всегда выполняется неравенство 
при любом .
Замечание 2. Из определения предела
следует, что переменная величина не может иметь двух пределов. Действительно,
если и 
,
, то х должен удовлетворять
сразу двум неравенствам:
при произвольном малом 
, а это невозможно, если 
Замечание
3. Не следует думать, что каждая переменная величина имеет предел. Пусть переменная
величина х последовательно принимает следующие значения 
(рис. 1).
Рис.1
При
достаточно большом k значение 
, и все последующие значения с четными номерами
будут отличаться как угодно мало от единицы, а следующее значение 
и все последующие значения
х с нечетными номерами будут как угодно мало отличаться от нуля. Следовательно,
переменная х не стремится к пределу.
В определении
предела указано, что если переменная величина стремится к пределу 
,
то 
- постоянное число.
Но понятие «стремится» употребляется и для характеристики другого способа изменений
переменной величины, что видно из следующего определения.
Определение
2. Переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного
положительного числа М можно указать такое значение х, начиная
с которого все последующие значения переменного будут удовлетворять неравенству
.
Если
переменная х стремится к бесконечности, то ее называют бесконечно
большой переменной величиной и пишут 
.
Предел функции
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.
Определение
1. Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки
а или в некоторых точках этой окрестности. Функция 
стремится к пределу 
при х, стремящемся к
, если для каждого
положительного числа 
,
как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число 
, что для всех х,
отличных от
и удовлетворяющих неравенству 
, имеет место неравенство
.
Если
есть предел функции
f(x) при 
,
то пишут:
или f (x)
при 
.
Если
при 
, то на графике функции
, т.к. из неравенства 
следует неравенство 
, то это значит, что для
всех точек х, отстоящих от точки не далее чем на 
, точки М графика функции
лежат внутри
полосы шириной 
,
ограниченной прямыми 
и 
(рис. 2).
Рис. 2
Рассмотрим переменную величину у = f
(х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений
функции последующим является то значение, которое соответствует последующему
значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при 
стремится к некоторому
пределу 
, то
будем писать
и говорить, что функция у = f (х) стремится к
пределу b при 
.
Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны. Замечание.
Если f (x) стремится к пределу b1
при х, стремящемся к некоторому числу так, что x принимает только значения,
меньшие , то
пишут 
и называют
b1 пределом функции f(x) в точке слева. Если х
принимает только значения большие, чем , то пишут 
и называют b2, пределом
функции в точке
справа.
Можно доказать, что если, предел справа
и предел слева существуют и равны, т. е. 
, то b и будет пределом в смысле
данного выше определения предела в точке . И обратно, еслт предел функции b в точке , то существуют пределы
функции в точке
справа и слева и они равны.
Замечание.
Для существования предела функции при
не требуется, чтобы функция
была определена в точке 
. При нахождении предела рассматриваются значения
функции в окрестности точки , отличные от ; это положение наглядно иллюстрируется
следующим примером.
Пример.
Докажем, что 
. Здесь функция 
не определена при х = 2.
Нужно
доказать, что при произвольном 
найдется такое 
, что будет выполняться неравенство
, (1)
если | х — 2 | < 
. Но при х
2 неравенство (1) эквивалентно
неравенству
(2)
или 
.
Таким
образом, при произвольном неравенство (1) будет выполняться, если будет
выполняться неравенство (2) (здесь 
). А это и значит, что данная функция при
имеет пределом
число 4.
Рассмотрим
некоторые случаи изменения функции при 
. Определение 2. Функция f(x)
стремится к пределу 
, если для каждого произвольно
малого положительного числа 
можно указать такое положительное число
N,
что для всех значении х, удовлетворяющих неравенству 
, будет выполняться неравенство
.
Зная смысл символов: 
очевидным является и смысл выражений:
стремится к b
при 
и
стремится к b
при 
,
которые символически записываются так:
, 
.
Рис. 3
Функция, стремящаяся к бесконечности,
Ограниченные функции
Итак,
рассмотрены случаи, когда функция f(x) стремится к некоторому пределу b
при 
или при
.
Рассмотрим тетерь случай, когда функция у = f (х) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.
Определение
1. Функция f (x) стремится к бесконечности при 
, т. е. является бесконечно большой
величиной при ,
если
для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни было, можно
найти такое 
,
что для всех значений х, отличных от а, удовлетворяющих условию
, имеет место неравенство
.
Если
f(x) стремится
к бесконечности при 
,
то пишут:
или
при 
.
Если
f(x) стремится к бесконечности при 
и при этом принимает только положительные
или только отрицательные значения, соответственно пишут 
или 
(рис. 4) .
Рис. 4
Бесконечно малые и их основные свойства
В параграфе будем рассматривать функции, стремящиеся к нулю при некотором характере изменения аргумента.
Определение. Функция 
называется бесконечно
малой при 
или при 
, если
или 
.
Теорема 1.
Если функция y = f(x) представляется
в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой 
:
y = b+
, (1)
то
(при 
).
Обратно, если 
, то можно написать 
, где 
— бесконечно малая.
Доказательство. Из равенства (1) следует
. Но при произвольном 
все значения 
, начиная с некоторого, удовлетворяют соотношению
, следовательно,
для всех значений у, начиная с некоторого, будет выполняться неравенство
. А это и значит, что 
.
Обратно: если , то при произвольном 
для всех значений у, начиная
с некоторого, будет 
. Но если обозначим 
, то, следовательно, для всех значений
, начиная с
некоторого, будет 
,
а это значит, что 
—
бесконечно малая.
Теорема 2.
Если 
стремится к нулю при (или при ) и не обращается в нуль,
тo 
стремится к бесконечности.
Доказательство.
При любом, как угодно большом 
будет выполняться неравенство
, если только
бyдет выполняться неравенство
. Последнее
неравенство будет выполняться для всех значений 
, начиная с некоторого, так как
.
Теорема 3.
Алгебраическая сумма двух, трех и вообще определенного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство.
Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится аналогично.
Пусть
, где 
. Докажем, что при произвольном
как угодно малом 
найдется 
такое, что при удовлетворении неравенства
будет выполняться неравенство
. Так как 
есть бесконечно малая, то найдется такое 
что в окрестности с центром в точке a
в радиусом
будет
.
Так
как 
есть бесконечно
малая, то найдется такое 
, что в окрестности с центром в точке а
и радиусом 
будет
.
Возьмем 
равным меньшему из величин 
и 
, тогда в окрестности точки а
с радиусом 
будут выполняться неравенства ; . Следовательно, в этой окрестности будет
.
т.
е. 
, ч. т.
д.
Аналогично приводится доказательство и для случая, когда
,
.
Теорема 4.
Произведение
функции бесконечно малой 
на функцию ограниченную z = z(х)
при (или 
) есть величина (функция) бесконечно малая.
Доказательство.
Проведем
доказательство для случая . Для некоторого 
найдется такая окрестность точки
х = а, в которой будет удовлетворяться неравенство 
. Для всякого 
найдется окрестность,
в которой будет выполняться неравенство 
. В наименьшей из этих двух окрестностей будет
выполняться неравенство
.
А это
и значит, что 
—бесконечно
малая. Для случая 
доказательство проводится аналогично.
Из данной теоремы вытекают:
Следствие
1. Если 
, lim
=0, тo
lim
=0, так как 
есть величина ограниченная. Это справедливо для любого конечного числа множителей.
Следствие
2. Если 
и c = const,
то lim ca
= 0.
Теорема 5.
Частное
от деления
величины бесконечно малой
(х) на функцию, предел которой отличен
от нуля, есть величина бесконечно малая.
Доказательство.
Пусть
На основании
теоремы, что 1/
есть величина ограниченная. Поэтому дробь
есть произведение
величины бесконечно малой на величину ограниченную, т. е. величина бесконечно
малая.
Бесконечно малые
функции 
и 
называются эквивалентными, если 
. Эквивалентность обозначается
символом “~”, т.е. пишут 
~ 
.
Об эквивалентных бесконечно малых функциях известны следующие теоремы:
Т е о р е м а I. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентным.
Т е о р е м а II. Для того чтобы две бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с каждой из них.
Если при некотором
предельном переходе функция 
есть функция бесконечно малая, то:
~
(1)
~
(2)
~
(3)
~ (4)
~ (5)
~
(6)
~ (7)
Основные теоремы о пределах
Проведем
доказательство для одного случая, так как для других доказательство проводится
аналогично. Не будем писать ни 
, ни 
, подразумевая то или другое.
Теорема 1.
Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:
.
Доказательство.
Проведем
доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится
так же. Пусть 
, 
. Тогда на основании теоремы можем написать:
, 
,
где
и 
—бесконечно малые. Следовательно,
.
Так
как 
есть постоянная
величина, а 
- величина бесконечно малая, то снова по теореме
заключаем, что
.
Теорема 2.
Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных
.
Доказательство.
Для
сокращения записи приведем доказательство для двух множителей. Пусть 
, 
. Следовательно,
, 
,
.
Произведение
, есть величина постоянная. Величина 
на основании теорем есть
величина бесконечно малая. Следовательно, 
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Действительно, если 
, с—постоянная и, следовательно,
, то 
,
ч. т. д.
Теорема 3.
Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:
, если 
.
Доказательство.
Пусть 
, 
. Следовательно, 
, где и 
- бесконечно малые.
Напишем тождества
,
или
.
Дробь 
есть постоянное число, а дробь 
по теоремам есть бесконечно
малая переменная величина, так как 
есть бесконечно малая, а знаменатель 
имеет пределом 
.
Следовательно, 
.
Пример 1.
Доказать, исходя
из определения предела, что 
.
Р е ш е н и е : Пусть
-любое положительное
число. Требуется доказать, что можно подобрать такое 
, что для всех x,
удовлетворяющих неравенству 
, будет выполняться неравенство 
.
Если 
,то
и 
.
Для выполнения неравенства
достаточно потребовать, чтобы 
т.е. 
откуда 
(второй корень 
отбрасывается, так как
).
Таким образом, для
любого 
найдено
такое 
, что
из неравенства
следует неравенство 
,
т.е.
Пример 2.
Доказать, исходя
из определения предела, что 
.
Р е ш е н и е : Пусть
- любое положительное
число. Требуется доказать, что можно подобрать такое 
, что для всех x,
удовлетворяющих неравенству 
, будет выполняться неравенство 
Если 
,
то 
и
Следовательно, для
выполнения неравенства 
достаточно найти М из условия 
, т.е. 
. Итак, для любого найдено такое М, что из
неравенства 
следует неравенство 
,
т.е. доказано, что 
.
2. Основные теоремы о пределах функции. При вычислении пределов необходимы следующие теоремы
,
С - постоянная; (1)
, С – постоянная; (2)
если 
и 
существуют, то
(3)
(4)
, если 
(5)
(6)
Кроме того, мы будем пользоваться, тем что, для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
(7)
Пример 3.
Найти 
Р е ш е н и е : Из формул (2), (4), (1), (3) следует, что
и 
Пример 4.
Найти 
Р е ш е н и е : Используем формулы (4), (3), (5):
; 
;
.
Пример 5.
Найти 
Р е ш е н и е : так
как 
и 
,
то, используем формулу (6), получим
.
Пример 6.
Найти 
Р е ш е н и е : по формуле (7) получаем
.
Замечание. Как показывают решения приведенных задач, в простейших случаях нахождения предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Часто, однако, приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразования данного выражения.
В последующих задачах показывается, какими приемами обычно пользуются при таких преобразованиях.