в содержание

ПРЕДЕЛ  ФУНКЦИЙ. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина

 В этом параграфе мы будем рассматривать упорядоченные пере­менные величины, изменяющиеся  специальным образом, который определяется терминами «переменная величина стремится к пределу». Во всем дальнейшем курсе понятие предела переменной будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа -производная, интеграл и др.

 Определение 1. Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного  числа  можно указать такое значение пе­ременной х, что все последующие значения переменной будут удов­летворять неравенству

  

 Если число    есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу , и пишут:

   или 

 В терминах геометрических определение предела может быть сформулировано следующим образом:

 Постоянное число    есть предел переменной, если для любой наперед заданной как угодно малой окрестности с центром в точке  и радиусом  найдется такое значение х, что все точки, соответ­ствующие последующим значениям переменной, будут находиться в этой окрестности.

 

 Замечание 1. Постоянную величину с часто рассматривают как величину переменную, все значения которой одинаковы:  х = с.

 Очевидно, что предел постоянной будет равен самой постоянной, т.к. всегда выполняется неравенство  при любом .

 Замечание 2. Из определения предела следует, что переменная величина не может иметь двух пределов. Действительно, если  и ,, то х должен удовлетворять сразу двум неравенствам:

 

при произвольном малом , а это невозможно, если

 Замечание  3. Не следует думать, что каждая переменная величина имеет предел. Пусть переменная величина х последовательно принимает следующие значения   (рис. 1).

 

 Рис.1

 При достаточно большом k значение , и все последую­щие значения с четными номерами будут отличаться как угодно мало от единицы, а следующее значение  и все последующие значения х с нечетными номерами будут как угодно мало отли­чаться от нуля. Следовательно, переменная х не стремится к пределу.

 В определении предела указано, что если переменная величина стремится к пределу , то   - постоянное число. Но понятие «стре­мится» употребляется и для характеристики другого способа изме­нений переменной величины, что видно из следующего определения.

 Определение  2. Переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения переменного будут удовлетворять неравенству  .

 Если  переменная х стремится к бесконечности, то ее называют бесконечно большой переменной величиной и пишут .

Предел функции

 

 Рассмотрим  некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.

 Определение 1. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция  стремится к пределу  при х, стремящемся к , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от   и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство 

 .

Если  есть предел функции f(x) при , то пишут:  или f (x) при .

 Если  при , то на графике функции , т.к. из неравенства  следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки  не далее чем на , точки М  графика функции  лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми   и  (рис. 2).

 

 Рис. 2

 Рассмотрим переменную величину у = f (х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений  функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при  стремится к некоторому пределу , то будем писать

 

и говорить, что функция у = f (х) стремится к пределу b при .

 Легко доказать, что оба определения предела функции эквива­лентны. Замечание.

 Если f (x) стремится к пределу b1 при х, стре­мящемся к некоторому числу  так, что x принимает только значения, меньшие , то пишут  и называют b1 пределом функ­ции f(x) в точке  слева. Если х при­нимает только значения большие, чем , то пишут  и называют b2, пределом функции в точке   справа.

 Можно доказать, что если, предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше оп­ределения предела в точке . И об­ратно, еслт предел функции b в точке , то существуют пределы функции в точке   справа и слева и они равны.

 Замечание.

 Для существования предела функции при  не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки , отличные от ; это положение наглядно иллю­стрируется следующим примером.

 Пример.  Докажем, что . Здесь функция  не определена при х = 2.

 Нужно  доказать, что при произвольном  найдется такое , что будет выполняться неравенство 

 , (1)

если | х — 2 | < . Но при х2 неравенство (1) эквивалентно неравенству

  (2)

или 

Таким  образом, при произвольном  неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь  ). А это и значит, что данная функция при  имеет пределом число 4.

Рассмотрим  некоторые случаи изменения функции при . Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу , если для каждого произвольно малого положительного числа  можно указать такое положитель­ное число N, что для всех значении х, удовлетворяющих неравенст­ву , будет выполняться неравенство .

  Зная смысл символов:  очевидным является и смысл выражений:

   стремится к b при  и

   стремится к b при ,

 которые символически записываются так:

 .

 

 Рис. 3

Функция, стремящаяся к бесконечности,

  Ограниченные функции

 Итак,  рассмотрены случаи, когда функция f(x) стремится к неко­торому пределу b при  или при .

 Рассмотрим  тетерь случай, когда функция у = f (х) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

 Определение  1. Функция f (x) стремится к бесконечности при , т. е. является бесконечно большой величиной при ,

если для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни было, можно  найти такое , что для всех значений х, отлич­ных от а, удовлетворяющих условию , имеет место нера­венство .

 Если f(x) стремится к бесконечности при , то пишут:

 

или  при .

 Если f(x) стремится к бесконечности при  и при этом при­нимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут  или  (рис. 4) .

   

 Рис. 4

Бесконечно малые и их основные свойства

 

 В параграфе будем рассматривать функции, стремящиеся к нулю при некотором характере изменения аргумента.

   Определение. Функция  называется бесконечно малой при   или при , если  или .

 Теорема 1.

 Если функция y = f(x) представляется в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой :

 y = b+, (1)

то

  (при ).

 Обратно, если , то можно написать , где бесконечно малая.

 Доказательство. Из равенст­ва (1) следует . Но при произвольном  все значения , начиная с некоторого, удовлетворяют соотношению , следовательно, для всех значений у, начиная с не­которого, будет выполняться неравен­ство . А это и значит, что .

 Обратно: если , то при произвольном  для всех значений у, начиная с некоторого, будет . Но если обозначим , то, следовательно, для всех зна­чений , начиная с некоторого, будет , а это значит, что — бесконечно малая.

 Теорема 2.

 Если  стремится к нулю при  (или при ) и не обращается в нуль, тo  стремится к бесконечности

 Доказательство. 

 При любом, как угодно большом  будет выполняться неравенство , если только бyдет выпол­няться неравенство . Последнее неравенство будет выпол­няться для всех значений , начиная с некоторого, так как

 Теорема 3. 

 Алгебраическая сумма двух, трех и вообще определенного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

 Доказательство. 

 Проведем  доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится аналогично.

 Пусть , где . Докажем, что при произвольном как угодно малом  найдется  такое, что при удовлетворении неравенства  будет выполняться неравенство . Так как   есть бесконечно малая, то найдется такое  что в окрестности с центром в точке a  в радиусом   будет

 .

Так как  есть бесконечно малая, то найдется такое , что в окрестности с центром в точке а и радиусом   будет

 .

 Возьмем  равным меньшему из величин  и , тогда в окрестности точки а с радиусом   будут выполняться неравенства ; . Следовательно, в этой окрестности будет

 .

 т. е. , ч. т. д.

 Аналогично приводится доказательство и для случая, когда

 .

 Теорема  4.

 Произведение функции бесконечно малой  на функцию ограниченную z = z(х)  при  (или ) есть величина (функция) бесконечно малая.

 Доказательство.

 Проведем доказательство для случая . Для некоторого  найдется такая окрестность точки х = а, в которой будет удовлетворяться неравенство . Для всякого  найдется окрестность, в которой будет выполняться неравен­ство . В наименьшей из этих двух окрестностей будет выполняться неравенство

 

А это и значит, что —бесконечно малая. Для случая   доказательство проводится аналогично.

 Из данной теоремы вытекают:

 Следствие  1. Если lim=0, тo  lim=0, так как   есть величина ограниченная. Это справедливо для любого конечного числа множителей. 

 Следствие  2. Если  и c = const, то lim ca = 0.

 

Теорема  5.

 Частное  от деления величины бесконечно малой(х) на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

 Доказательство.

 Пусть На основании теоремы, что 1/ есть величина ограни­ченная. Поэтому дробь  есть произведение величины бесконечно малой на величину ограниченную, т. е. величина беско­нечно малая.

 Бесконечно малые функции  и  называются эквивалентными, если . Эквивалентность обозначается символом “~”, т.е. пишут ~ .

Об эквивалентных бесконечно малых функциях известны следующие теоремы:

Т е о р е м а I. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентным.

Т е о р е м а II. Для того чтобы две бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с каждой из них. 

Если при некотором предельном переходе функция  есть функция бесконечно малая, то:

~ (1)

~ (2) 

~ (3) 

~ (4) 

~ (5) 

~ (6) 

~ (7) 

Основные теоремы о пределах

 

 Проведем доказательство для одного случая, так как для других доказательство проводится аналогично. Не будем писать ни , ни , подразумевая то или другое.

 Теорема  1.

 Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

.

 Доказательство.

 Проведем доказательство для двух слагае­мых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть , . Тогда на основании теоремы можем написать:

,

 где  и —бесконечно малые. Следовательно,

.

 Так как  есть постоянная величина, а - величина бесконечно малая, то снова по теореме заключаем, что

.

 

 Теорема  2. 

 Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных

 

.

 Доказательство. 

 Для сокращения записи приведем доказательство для двух множителей. Пусть , . Следовательно,

, ,

.

Произведение, есть величина постоянная. Величина  на основании теорем есть величина бесконечно малая. Следовательно, .

 Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 Действительно, если , с—постоянная и, следовательно,  , то ,  ч. т. д.

 Теорема 3.

 Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

, если .

 Доказательство. 

 Пусть , . Следова­тельно, , где  и  - бесконечно малые.

 Напишем тождества 

,

или

.

Дробь  есть постоянное число, а дробь  по теоремам есть бесконечно малая переменная величина, так как  есть бесконечно малая, а знаменатель  имеет пределом .

Следовательно, .

 

Пример 1.

 Доказать, исходя из определения предела, что .

Р е ш е н и е : Пусть -любое положительное число. Требуется доказать, что можно подобрать такое , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Если ,то  и .

Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы  т.е.  откуда  (второй корень  отбрасывается, так как ).

Таким образом, для любого  найдено такое , что из неравенства   следует неравенство , т.е.

Пример 2.

Доказать, исходя из определения предела, что .

Р е ш е н и е : Пусть - любое положительное число. Требуется доказать, что можно подобрать такое , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство

Если , то  и

Следовательно, для выполнения неравенства  достаточно найти М из условия , т.е. . Итак, для любого  найдено такое М, что из неравенства   следует неравенство , т.е. доказано, что .

 

2. Основные теоремы о пределах функции. При вычислении пределов необходимы следующие теоремы

 , С - постоянная; (1)

, С – постоянная; (2)

 если   и  существуют, то

 (3)

 (4)

, если  (5)

 (6)

Кроме того, мы будем пользоваться, тем что, для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

  (7)

 Пример 3.

 Найти

Р е ш е н и е : Из формул (2), (4), (1), (3) следует, что

 и 

 Пример 4.

 Найти

Р е ш е н и е : Используем формулы (4), (3), (5):

;

.

Пример 5.

 Найти

Р е ш е н и е : так как  и , то, используем формулу (6), получим

.

 Пример 6.

 Найти

Р е ш е н и е : по формуле (7) получаем

.

Замечание. Как показывают решения приведенных задач, в простейших случаях нахождения предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Часто, однако, приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразования данного выражения.  

В последующих задачах показывается, какими приемами обычно пользуются при таких преобразованиях.